Eduard Brunner rozpoczął muzyczną edukację w Bazylei, gdzie się urodził. Naukę kontynuował u L. Cahuzaca w Konserwatorium Paryskim. Po ukończeniu studiów został pierwszym klarnecistą Bawarskiej Radiowej Orkiestry Symfonicznej w Monachium. Stanowisko to piastował przez 30 lat. Obecnie jest profesorem gry na klarnecie i kameralistyki w Hochschule für Musik und darstellenden Kunst w Saarbrücken.
Występował w wielu krajach zarówno jako solista, jak i członek zespołów kameralnych; grał m.in. z Gidonem Kremerem, Olegiem Kaganem, Natalią Gutman, Jurijem Bashmetem, Alfredem Brendelem.
Jest regularnie zapraszany do udziału w festiwalach w Lockenhaus, Wiedniu, Moskwie, Warszawie, Szlezwiku-Holsztynie, Berlinie i in.
Corocznie prowadzi kilkanaście międzynarodowych kursów muzycznych.
Dokonał nagrań ponad 200 dzieł na klarnet dla takich wytwórni, jak: dg, Philips, Tudor, Schwann, Orfec, ecm i in. Wśród jego najnowszych albumów wymienić trzeba pełne edycje koncertów klarnetowych Carla Stamitza oraz Louisa Spohra. W przygotowaniu jest edycja 15 koncertów klarnetowych kompozytorów francuskich.
Jako jeden z najwybitniejszych interpretatorów muzyki współczesnej, Brunner zamawia u znaczących twórców nowe utwory, przyczyniając się do wzbogacenia nowoczesnej literatury klarnetowej. Kompozycje dla niego napisali m.in.: Lachenmann, Yun, Denisow, Franćaix, Kanczeli i Hosokawa.